Uma introdução à geometria do taxista – WEBMAT de Inverno

WEBMAT de Inverno Quando o inverno chegar… a gente vai falar de Matemática Webnário 05 Uma introdução à geometria do …

Uma introdução à geometria do taxista – WEBMAT de Inverno/a>

oi boa noite a todos eu acredito que já estou ao vivo sejam bem-vindos ao nosso ebmat webmax feito com muito carinho pelo ifpe campus pesqueira e os seus professores hoje é uma noite muito agradável à noite no especial estaremos aqui apresentando o professor darlan um colega de trabalho você sou rhaylan está no campus pesqueira desde um ano 2010 e vem contribuindo bastante aqui com a gente o tema não é uma pequena introdução aí a geometria do taxista mas antes de passar a palavra para o professor aham vou fazer um pequeno resumo aqui do seu currículo tá bem o professor rhaylan ele já é mestre em ensino das ciências de matemática lá pela uepb ea sua linha de pesquisa o mestrado o história e filosofia da ciência e da matemática o professor lan também é aluno de um outro mestrado ele é mestrando em matemática aplicada e computacional lá pela unicamp e tem experiência em matemática no ensino superior trabalha bastante lá em nosso campus com a parte de áudio para a história da matemática e cálculo também então dessa forma eu vos apresento o nosso amigo querido o professor lan professor a palavra é contigo boa sorte sucesso mostra nós hoje toda a sua competência boa noite a todos e todos é agradeço inicialmente as palavras muito gente do professor bruno é nosso amigo nosso colega de trabalho já um bom tempo aqui no ifpe campus pesqueira é agradeço também a todos vocês que estão aí nos acompanhando né pela a viagem clube facebook nessa noite agradável é relativamente fria é que em pesqueira né no nosso agreste pernambucano é e assim e antes de entrar propriamente na nossa conversa de hoje eu queria só ressaltar algumas coisas iniciando pelas razões que me levaram a escolher essa temática eu vejo só pensando no nosso público alvo é prioritário são estudantes de licenciatura em matemática são colegas professores da educação básica então pensando nesse público alvo eu tentei escolher uma temática que pudesse ser abordada em vários níveis de ensino desde o ensino básico até o superior e também é essa temática ela pode você pode estabelecer várias conexões com o a matemática e aplicações então por exemplo você pode trabalhar com problemas de matemática aplicada buscando otimizar rotas para transporte alocação de recursos também e repente um complexo industrial deseja construir fábricas e aí é um problema importante é situar da melhor forma possível é depósitos centro de distribuição e assim por diante é visando minimizar custos e sempre que possível maximizar lucros então essa temática ela pode ser explorado em várias vertentes é tanto nessa perspectiva de matemática aplicada quanto em relação a matemática pura também isso vai ficar mais claro daí no decorrer da nossa conversa aqui então eu vou ressaltando esses esses elementos outra coisa também é que até mais que a gente escolheu ela há conexões importantes com história e filosofia ou melhor epistemologia da matemática na medida em que a gente vai passear e um pouco pela geometria euclidiana então a gente vai fazer um rápido sobre eu vou por alguns aspectos históricos é desse ramo da matemática e isso é e tem muitas digamos assim tem muitas possibilidades para ser explorada na sala de aula na formação de professores é enfim eu imagino que tem uma perspectiva interessante quando você inclui a discussão histórica e epistemológica é de conteúdos matemáticos pois bem então vamos iniciar aqui a nossa apresentação eu vou compartilhar que a minha tela com vocês o kinho o olá pessoas não tô por aqui de volta boa noite a todos mais uma vez era justamente sobre isso aí não para poder lembrar de compartilhar a tela é que todos os colegas possam ver aí o que os lá e tu apresentação legal muito bem e aí e pronto vocês conseguem ver a tela compartilhada se tu puder vir clicar em encher screen perdoe meu inglês tá certo tá então vamos lá e aí e aí g1 há mais ou menos assim aí não vai ter dois botões vai ter dois avisos ele clica sempre no botão azul é só que agora vai agora foi né muito bem eu estou gente eh peço perdão por isso porque meu lápis aí de tempo são os percalços tem dessa área tecnológica especialmente para quem ainda não está habituado com essa não tem essa intimidade toda com lives e enfim mas então é sobre o nosso título é não tem bem nós temos aí o uma introdução a geometria do taxista é e eu gostaria de reforçar somente que essa escolha para título é para deixar claro que dentre várias abordagens possíveis para a nossa temática a gente escolheu um é que tá aí repleta com as nossas subjetividades e introdução é porque vai ser uma conversa inicial é um primeiro momento então a gente vai trabalhar temas tá relativamente simples e aí abre os caminhos para as próximas investidas de vocês é quem tiver interesse e desejar aprofundar é né ah pois bem basicamente a gente vai discutir a ideia de distância a gente vai discutir de um ponto de vista intuitivo em seguida a gente vai aprofundar um pouco mais e essa discussão que vai digamos assim conduzir o nosso trabalho então a estrutura da nossa apresentação ela é composta por uma introdução depois a gente pretende discutir o conceito de distância sobre os respectivas na geometria euclidiana e na geometria do taxista em seguida a gente vai expor alguns elementos da geometria do taxista então essa é a nossa cultura é fique à vontade para fazerem perguntas observações é a equipe técnica está acompanhando no chat então fiquem a vontade para colocar as questões que vocês entenderem que devem ser colocadas a gente construir um diálogo aqui ao final é bem sobre a noção intuitiva de distância é nós sabemos que é uma ideia bastante familiar desde muito cedo para todos nós seres humanos é isso acontece também na na história da humanidade tão a nossa intuitiva de distância ela permeia várias culturas ao longo de muitos séculos é dentro do egito antigo 3 mil anos quatro mil anos atrás cinco mil anos atrás a civilização babilônica também enfim ela permeio várias culturas sempre ligada a questões práticas da vida cotidiana de comércio e embora todos nós temos uma compreensão do que significa distância a gente é que vai digamos assim ampliar essa compreensão é colocando em xeque algumas coisas que são é verdade estabelecidas desde muito tempo é muito bem então é quando a gente pensa em distância nós temos uma uma ideia de estabelecer uma medida aí aí tem vários instrumentos tem várias unidades de medida e assim por diante a gente pode fazer medidas usando instrumentos ou é como eram os primórdios e como acontece muitas vezes na infância agente mede distância é usando parte do corpo às vezes eu creio que vocês devem ter já passado por isso natural parecido a gente pergunta a algum cidadão é qual a distância por exemplo de pesquisa até recife é são 215 km aproximadamente e aí o cara vai responde a três horas então ele associa a distância é o tempo de percurso naquele leva numa viagem de carro enfim então acontece essas coisas né a fazer daqui por diante é caminham no sentido de formalizar o conceito de distância para depois é ampliar e percebeu outros modos para o cálculo de distâncias ok então é prosseguindo aqui a gente vai ver no dicionário não missionário muito famoso por sinal é a dicionário michaelis e quais são os significados de distância é que esse dicionário traz para gente e então é só compartilhar tela aqui só o nome pinho e aí e vamo lá e aí é muito bem e aí e prontos carvalho e eu vejo esse dicionário online é o famoso michaelis e ele traz para gente quem é em diversas definições para a noção de distância tão ele traz aqui as seguintes definições a extensão retilínea do espaço entre pessoas ou objetos espaçamento distanciamento isso corresponde bastante com a nossa nossa intuitiva né e aí ele vai é grande extensão de espaço que separa duas pessoas dois objetos ou desligares eram jura e assim por diante ato ou efeito de tomar distância é lábios tanto de tempo transcorrido entre dois momentos faz o épocas e aí tem dois significados aqui os 5 e 16 vejo cinco é num contexto de geometria e ele diz comprimento do segmento de uma reta que liga dois pontos muito bem isso corresponde também é o conceito de distância que todos nós possuímos desde a educação básica não é basicamente você mede distância é com a régua ou com alguns momentos que se assemelha a uma régua e você trace um segmento de reta entre dois pontos e aí você tem a distância o outro significado e no contexto matemático é o seguinte é uma função pouco positiva definida e simétrica que estabelece a associação de um número real a dois pontos no espaço métrico opa que parece que ficou uma coisa grega né uma coisa cheia de palavras que a princípio é não estão muito claras mas a gente vai voltar essa definição aqui para tentar clarear um pouco o que que ele significa e aí tem um significado a aqui que deve é do contexto militar é espaço entre tropas em fileiras ou unidades de veículos medindo da frente para trás também se vocês procurarem outros dicionários é é bem provável que boa parte desses significados estejam presentes podem encontrar outros mas basicamente o que a gente encontra de definição para a palavra distância é o que a gente acabou discutir aqui ah pois bem esse é o que vai acontecer agora é que a gente vai buscar ampliar essa essa noção de distância no sentido de construir uma geometria um pouco diferente da geometria euclidiana não é vamos caminhando nessa direção é tão prosseguindo aqui com a nossa apresentação vamos voltar para os slides bom então veja só o ad posse das definições anteriores a gente pode sem problema algum é encarar uma situação que é extremamente comum nos contextos matemáticos em particular na educação básica mas não apenas restrito a ela não é isso aparece às vezes em física em disciplinas universitárias e de fato é uma situação realmente muito comum a gente precisar calcular distância entre dois pontos é notem que nós temos aqui o artigo definido lá até um pouco em não sei se tá muito legível isso mas eu fiz questão de realçar é isso é vida e cia que existe ou pode evidenciar né existe uma única é uma determinada distância e aí isso é verdade até certo ponto né não é bem verdade é uma meia verdade ah pois bem e não por exemplo a gente pode supor sem perda de generalidade algum aqui nós temos aqui é um plano cartesiano então nós temos aqui os eixos cartesianos o deixes acho y temos os pontos a e b e nós queremos calcular a distância entre os pontos a e b ok então é se nós pudéssemos usar uma régua a gente me diria aqui a distância entre a e b no segmento de reta unindo esses dois pontos e o comprimento desse segmento de reta daria a nossa distância é oportuno lembrar que medir é basicamente comparar no estabelecer uma comparação com uma unidade padrão então você vai dizer que mede 7 centímetros ou enfim é milímetros isso depende da unidade em questão ok agora é usual né nos contextos matemáticos a gente proceder da seguinte forma e nós construímos um triângulo retângulo aqui com auxílio de um ponto c ok esse ponto ser ele é escolhido de tal forma que a sua abscissa ou seja o valor de x correspondente ao ponto c aqui ele é o mesmo valor de x correspondente ao ponto b já dava inicialmente é um a ordenada ou seja o valor de y do pontos e ele é escolhido de modo a coincidir com a ordenada do ponto a e já está jogado também então como nós temos aqui um sistema cartesiano ortogonal temos aqui um ângulo reto triângulo retângulo e de imediato a gente pode aplicar o teorema de pitágoras 9 ano seguinte que a distância entre os pontos a e b aqui é vai ser a hipotenusa do triângulo abc cujos catetos medem nós também aqui ó 3 até sete é portanto mede 4 este cateto bc mede três unidades nós estamos encarando que cada quadradinho aqui dessa malha é uma unidade de medida comprimento do lado aquele cara quadradinho importante né pelo teorema de pitágoras todos conhecemos e aliás deve ser os resultados matemáticos mais famosos assim é conhecido inclusive pelo público leigo né porque aí já saiu da escola um bom tempo então aqui tá gostando muito forte nessas no pensamento das pessoas ainda hora triângulo a pitagórico aqui triângulo retângulo famoso né e catetos 43 e consequentemente aqui cinco os números foram escondidos propósito a e aí nós temos a distância entre os pontos a e b muito bem mas aí o que acontece é que essa distância calculada ela recebe um nome especial a gente chama de distância euclidiana é e em geral né a gente pode estabelecer uma fórmula sem nada mais é do que o teorema de pitágoras e aqui ó aplicado a um triângulo genérico notem que no caso anterior nós temos os pontos dados a e b com coordenadas fixas mas a gente pode ser porque o ponto a tem coordenadas x de aids onde a o ponto b x direito onde b constrói um ponto c de modo conveniente como fizemos anteriormente e aí a distância entre os pontos a e b é dada pela hipotenusa aqui no triângulo retângulo construído ok então aqui a soma dos quadrados dos catetos estragar a raiz quadrada isso aqui vai dar a hipotenusa e portanto a distância mas aí é uma coisa que a gente se destacar é que essa noção de distância ela praticamente foi única na matemática durante vários milênios pelo menos de dois mil anos a posteriormente mas desde os tempos euclides né 300 anos 2013 é basicamente é essa era a nossa vida distância aceita claro nesse contexto aqui de geometria analítica surgiu depois de euclides né dá um de carne vermelha e assim por diante mas a ideia básica né vem do teorema de pitágoras que é anterior clientes inclusive pois bem o que acontece é que este não é o único modo de merge distâncias a gente vai ver agora um contexto é concreto é do mundo real onde não faz sentido medir distâncias nesses moldes euclidiano e s um detalhe esse nome distância euclidiana ele aparece é porque como vocês trataram a gente obteve essa fórmula a partir do teorema de pitágoras que por sua vez é consequência de uma série de resultados da geometria euclidiana então a gente chama de geometria euclidiana no por essa razão ah pois bem então a gente vai fazer agora é um pequeno sobrevoo sobre dois locais dos locais famosos a ilha de manhattan em nova york e a cidade de pesqueira é aqui em pernambuco e eu vou voltar novamente aqui para o google chrome não só um momentinho e aí e aí é muito bem e aí e aí ah tá deixa eu ver se já apareceu aí e pronto é nós estamos aqui e com a vista aérea eu não sei se está legível para todos mas quem tiver possibilidade é só digitar no google maps em manhattan e aí a gente vê uma parte da ilha de manhattan lá em nova york eu vou dar um zoom aqui oi e aí percebi um seguinte essa esse modo de organizar as ruas as avenidas ele é bem peculiar porque fica muito próximo de uma malha quadriculada a gente pode imaginar aqui como sendo retângulos é e assim por diante ela tem vários por aqui é tudo muito bem estruturado notem que se um cidadão está localizado digamos nesse restaurante aqui que me parece que a restaurante mexicano né a propaganda tá sendo feita aí então ele está aqui mas ele perguntar xxi o e deseja se dirigir até aqui deve ser um escritório da fedex né onde você entrega comidas hora ele não pode percorrer essa distância atravessando os prédios os quarteirões as casas não é preciso que ele obedeça um percurso específico de deslocamento para contornar os obstáculos então é o táxi vem se desloca seguindo a as possibilidades de mão contra mão e tudo mais e aí ele vem percorrendo aqui percorre aqui em até chegar lá na sede é desejada pois bem e essa essa situação ela digamos assim batiza a geometria do taxista porque a gente passa a partir desse momento a medir distâncias de um modo diferente do caso euclidiano aqui não faz sentido unir esses dois pontos por um segmento de reta conforme os moldes o creme anos é preciso percorrer os quarteirões aqui então se a gente imagina essa viagem sendo feita por um táxi ou não veio qualquer nós temos um modo diferente de calcular distância entre esses dois pontos e essa ideia que a gente vai é explorar daqui por diante ok a claro eu tô chamando aqui de geometria do taxista mas outros autores também chamam de geometria de manhattan geometria urbana e assim por diante é inspirados por essa por esse arranjo urbano digamos assim que a gente encontra em manhattan mas outras cidades eu não tenho um aspecto parecido e aí essas idéias elas podem ser aplicadas de modo muito semelhante nesse contexto claro que nem todas as cidades e nem todos os bairros tem um planejamento tão organizado né sob esse ponto de vista o projeto a gente pega aqui a nossa cidade e é pesqueira e a gente vê que o mapa ele tá um pouquinho diferente do que a gente encontra em manhattan é os arranjos aqui de quarteirões e quase são diferentes mas ainda assim a ideia de medir distância segundo o modelo euclidiano não faz sentido a respeitar os percursos segundo as avenidas as ruas continua sendo necessário e aí é motivado por situações desse tipo do mundo real e a gente vai explorar um pouco a geometria do taxista então no decorrer da apresentação e vou formalizando os conceitos para retomando algumas ideias ampliando algumas ideias aí assim por diante ok bem tô voltando para a nossa apresentação de slides que acontece o seguinte aqui e aí e a gente precisa discutir um pouco alguns aspectos da geometria euclidiana para a gente poder compreender bem a geometria do taxista ok então o primeiro elemento que a gente quer discutir aqui é que a geometria euclidiana ela foi sistematizada é segundo o método axiomático pela primeira vez é no áudio é muito famosa escrita há cerca de dois mil e trezentos anos é sobra chama seus elementos e é atribuída ao matemático grego chamado euclides de alexandria então é o grande médico dessa obra é os grandes metros na verdade são basicamente dois né tem vários mas ele está com dois primeiro o fato de ter organizado todo o conhecimento de geometria incluindo geometria plana espacial e também de teoria elementar dos números na propriedade sobre números naturais inteiros e assim por diante é bom então sistematizou esse conhecimento todo e isso segundo o método axiomático é o nosso o nosso médico método digamos assim padrão da matemática atual onde você parte de alguns conceitos primitivos os quais não se define ou ser parte de definições e aí você estabelecem axiomas e a partir disso usando usando lógica dedutiva você vai prova teoremas e assim que que a matemática vai se organizando é a muitos séculos é essa é a axiomática de euclides ela com o passar do tempo foi revista foi discutida foi questionada mas o fato é que grande parte do que euclides fez permanece é muito próximo daquilo que ele de fato idealizou e algumas mudanças foram sendo feitas a partir de padrões mais digamos assim atuais de rigor matemático é isso é um processo complexo se dá ao longo do tempo e o finn é não isso não diminui é de modo algum a obra de euclides muito pelo contrário outro fato importante é que ele usou um conjunto relativamente pequeno de axiomas e postulados para elaborar demonstrações para cerca de 465 proposições pra gente vai ver aqui as os axiomas e postulados de euclides mas o fato é que ele a partir de poucas idéias para dicas demonstrou muita coisa e demonstrou de acordo com os padrões desligou vigente na época é de rigor matemático gente na época é a gente não pode mas não é uma coisa muito adequada julgar a obra de eu clientes com o nosso padrão desligou atual isso é um anacronismo pois bem vale salientar duas coisas aqui euclides ele apresentou algumas definições que hoje em dia não são aceitas deve alguns daqui a pouco e ele eu tava axiomas e postulados então o que a gente vai começar a ver aqui é veja por exemplo na obra de euclides os elementos a gente encontra uma definição para ponto ele diz que ponto é aquilo que nada é parte daqui a pouco eu comenta essa linguagem é usado por ele e ele prossegue dizendo que linha é comprimento sem largura a extremidade de uma linha são pontos bom e que uma linha reta é que está posta por igual com os pontos sobre si mesma essas definições é eu peguei integralmente da de uma tradução dos elementos diretamente do grego para o português e essa tradução foi feita pelo professor irineu bicudo não é falecido aos 23 anos e infelizmente e o professor irineu bicudo ele relata que demorou cerca de 15 anos para traduzir a obra diretamente do grego ele ia releia fazia refazer o trabalho tem um trabalho muito largo mas ele nos brindou com uma obra primorosa é uma tradução diretamente do grego para o nosso português pro português brasileiro então veja é por exemplo acho que todo um pouco a linguagem para os nossos moldes onde euclides aqui que ponto é aquilo que nada é parte acho que pode entender que para ele ponto é a unidade básica da geometria e não pode ser mais dividida é a unidade fundamental digamos assim e combinando essas três outras definições de definição dois três e quatro é combinando isso tudo a gente infere-se que para euclides é um a reta ela era formada por pontos um na frente do outro é um atrás do outro e assim por diante preenchendo toda a linha reta mas sem ter largura ela tem comprimento mas não tem largura então vocês podem imaginar é o que é que ele queria dizer com essas definições um detalhe importante é o seguinte é destacar que isso tudo era fruto de experiências do mundo fisio e também é de digamos assim experiências adquiridas a partir do manuseio de régua e compasso em situações de geometria tão era comum você tomar por base os os sentidos que você as experiências do mundo físico e tentar trazer isso para é o mundo matemático e é ah tá euclides apresenta um conjunto de axiomas que também são conhecidos por noções comuns e aí isso é nós somos comuns remete à ideia de que esses axiomas eles são proposições tomadas como verdades sem demonstração mais que são válidos para todas as ciências estão a coisa como universal o por exemplo eu clientes diz que coisas iguais as mesmas cores são também iguais entre si é diz aqui caso seja adicionada as coisas iguais a coisas iguais os todos são iguais aí assim por diante então tem várias vários axiomas e ele toma como verdade note que todos são bastante intuitivos eles encontram facilmente correspondência com o nosso mundo real e isso era normal se aceitar ser aceita a aceitar para todas as ciências da independente se a geometria se é matemática e física e assim por diante é note o seguinte eu vejo aqui na no primeiro caso não vou lhe abusar sobre todos mas aqui eu no primeiro caso onde ele diz que as coisas iguais as mesmas coisas são também iguais entre si a gente associa quase que de imediato a propriedade transitiva das igualdades né por exemplo se a = b b = c então a = c pela propriedade transitiva da igualdade aqui no item 8 quando ele diz e o todo é maior do que a parte e isso de fato encontra correspondência com o mundo físico não não faz muito sentido a gente imaginar né no mundo físico é um objeto onde um parque deixar objeto seja maior que eu todo mas se a gente vai para o infinito aí a gente encontra no contradição nesse caso eu não vou entrar em muitos detalhes aqui mas daqui um lembra por exemplo de análise real né que o sol análise real quem vai cursar ainda vai ver que existem diferentes tipos de infinito diferente no seguinte sentido a infinitos os maiores infinitos menores então tem infinitos e são maiores que outros tipos de infinito então para não alongar muito nessa distância ou nessa discussão é a distância é quando a gente discutir sobre conjuntos infinitos é muitas vezes uma parte infinita de um conjunto inf e ela pode ter tantos elementos quanto tem o touro isso daí a gente pode por exemplo estabelecer uma correspondência biunívoca uma função objetiva entre os números naturais ímpares e os números naturais é note que o simples são uma parte do todo nos naturais no entanto a gente pode dizer que a tanto os naturais quanto os números ímpares isso entre em choque com essa esse axioma oito mas enfim a gente não vai alugar essa discussão nas seria uma outra outra live o fato é que em essência aquilo que eu cresci propôs como noções comuns tem muito ruim pra ver com o mundo físico e já os postulados de euclides são afirmações que ele toma como verdade mas que são específicas da geometria então a diferença de axioma postulado no tempo de euclides era basicamente essa axiomas são universais postulados específicos de uma dada ciência e não ele tem as cinco postulados e eu vou destacar aqui dois não é o primeiro e quinto e veja aqui no primeiro ele diz aqui fique postulado traçar uma reta a partir de todo o ponto até todo ponto isso ajustando um pouquinho para nossa linguagem mais atual é o seguinte dois pontos determina uma reta então é isso que eu clico dizer aquele diz que prolongar uma reta é possível alugar uma reta limitaria continuamente sobre uma reta às vezes parece um pouco confuso o modo de escrita né o linguajar mas é que aqui é euclides não fazia distinção entre segmento de reta que a gente hoje entende como tem começo e tem fim é como uma coisa limitada mas ele não faz diferença entre segmento de reta limitado e ilimitado um sim ele dizia que a gente poderia prolongar um segmento de reta um definido aí é continuamente olá tudo bem aqui o três disse que dado um centro ou seja um ponto no plano em uma distância a gente pode traçar um círculo os ângulos retos são todos iguais entre si oi e o famoso quinto postulado né ele diz assim caso uma reta caindo sobre duas retas passam os ângulos interiores e do mesmo lado menores que dois apps sendo prolongadas as duas retas encontram-se no mesmo lado no qual estão os menores que os dois são direita eu não conheço o quinto postulado de euclides dessa forma não a gente conhece é de um modo mais digamos assim into it who e aí de fato gente esse quinto postulado ele tem uma digamos ele tem uma história belíssima ao longo de mais de dois mil anos porque muitos matemáticos inclusive o próprio euclides tinha uma certa um certo receio em relação esse quinto postulado notem que ele é maior em extensão do que os anteriores ele parece ser um pouco mais complexo que os anteriores é e assim por diante então para nenhum lugar muito a discussão é esse quinto postulado ao longo dos séculos ele foi objeto de inúmeras tentativas frustradas e demonstração é muita gente tentou demonstrar né por vários métodos várias técnicas e aí algumas pessoas acharam até que têm demonstrado o quinto postulado é em função dos outros quatro mas na verdade o que se o que se fazia era adotar formulações equivalentes ao quinto postulado e é alguém adotar uma afirmação que se ela for verdade implica na veracidade do quinto postulado e aí o quinto postulado implica na veracidade dessa afirmação portanto são equivalentes e aí é era como se e indiretamente você adotasse como verdade aquilo que você quer demonstrar né isso é uma coisa que a gente comete às vezes ainda mostrar ações matemáticas e aí eu vou apresentar algumas formulações equivalentes e uma delas vai ser bem conhecido de vocês né certamente é a primeira diz o seguinte por um ponto fora de uma reta pode traçar uma única reta paralela a reta dada esse é o famoso postulado de playfair ele foi estabelecido vejo a imagem dois mil anos depois da obra de euclides é esse anunciado aqui que a gente conhece né como as intimidade hoje em dia e esse anunciado ele está presente aí nos livros didáticos da educação básica enfim é digamos assim ele ficou famoso mais famoso que o postulador geral de um clipe até possível está a linguagem então nós quando eu digo que isso aqui é equivalente ao quinto postulado é porque se a gente admiti isso como verdade e admite os quatro postulados anteriores a gente pode provar o que o quinto postulado de euclides e e são outra formulação equivalente é que a soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre igual a dois ângulos retos é dados quaisquer três pontos não colineares existe um círculo passando por eles é o teorema de pitágoras também é equivalente ao postulado cinco de euclides ou seja se a gente adota o teorema de pitágoras como a verdade a gente consegue provar o quinto postulado aí assim por diante tem outros aí eu não vou me alongar nisso para gente poder já de fato é encaminhar nossa discussão para ajudante do taxista ok pois bem carros sim só um registo é que em 1889 um famoso matemático david roberts ele reviu a obra de euclides especialmente a parte da geometria e aí ele publicou um livro onde ele apresenta um axiomática moderna segundo os padrões atuais de rigor o frágil meteobridge ano então ele modifica algumas coisas por exemplo ponto reta e plano passaram as senhas primitivos que não tem definição você aceita como sendo a gente não definidos ele modificou um pouco alguns axiomas acrescentou mais axioma mas é enfim ele deu uma organizada segundo os parâmetros modernos de rigor matemático já estou trabalho um dos trabalhos desde roberto inclusive tem uma edição em português desse livro é fundamento da geometria e ele foi publicado originalmente em alemão é um livro não tem muitas páginas mas é extremamente denso do ponto de vista matemático eu tenho uma cópia aqui ela tá ia pegar para mostrar para vocês mais acabei esquecendo e é um livro realmente muito muito denso o bom é como eu já comentei anteriormente o quinto postulado ele tem uma história riquíssima e isso é resultado das tentativas de demonstrá-lo que acontece que em um certo momento os matemáticos ou alguns matemáticos começaram a desenvolver uma geometria a partir da negação do quinto postulado provavelmente estavam tentando mostrar é provar por redução ao absurdo então você supõe que ele é falso e aí você tenta chegar na contradição o problema é que esses caras ao suporte pinto posso lado era falso e o desenvolvendo geometrias sem chegar em contradições ou seja era como se tudo aquilo fizesse sentido e aí a gente tem dois duas geometrias famosas e surgiram a partir dessa trajetória é a geometria hiperbólica onde ela nega o quinto postulado dizendo que existem infinitas paralelas veja é o quinto postulado de euclides né na formulação de prefer diz que existe uma única paralela que passa e fora de um recado é o único para você negar isso você pode dizer que não existe reta ou você pode dizer que existe mais de uma reta então a gema de hiperbólica que surgiu especialmente com os trabalhos de bola e no battery disc eles trabalharam independentemente aqui a diferença de seis anos de um trabalho para outro dança geometria e surge a partir dessa negação do quinto postulado hora você tem infinitas paralelas passando por um ponto fora de uma reta dar uma outra geometria é que surge da alegação no sentido de que adota a não existência de reta paralela é a geometria elíptica também chamada de geometria esférica e ela foi construída a inicialmente pelo famoso matemático rima bernardo rima é o mesmo cara da integral que a gente estuda geralmente os primeiros cursos de cálculo integral de rima ah sim então essas duas geometrias era surgiram a partir de negações do quinto postulado e acontece o seguinte eu gostei e aplicações em contexto de ciência e matemática pura e assim por diante agora é é possível demonstrar que elas são geometrias consistentes se a geometria euclidiana for consistência é o que é que significa isso que se acha metros o cristiano não apresenta contradições então essas geometrias também não apresenta contradições portanto eras embora contrariem as verdades de euclides mas elas são tão verdadeiras quanto à geometria euclidiana é uma coisa é fantástica eu particularmente acho um capítulo muito bonito do desenvolvimento do pensamento matemático é a construção a criação da de geometria não-euclidiana então fica no convite né para quem tiver disposição tiver interesse oi gente tá esse tema tem muito material bibliográfico a internet enfim tem muitos livros interessantes vale a pena e agora é voltando aqui a nossa geometria do taxista eu vejo o que a gente faz aqui é calcular a distância entre dois pontos de um modo diferente então se vocês lembram bem a gente sugeriu que a distância ela era calculada é não um mundo diretamente os pontos a e b é mas percorrendo no trajeto no sentido de obedecer um desenho das ruas e avenidas da cidade de manhattan por exemplo então nesse contexto aqui é como se nós tivéssemos um quarteirão aqui eu não posso ir diretamente de até ver segundo segmento de reta euclidiano o teu eu percorro aqui ó de até ser depois de ser até b esse triângulo é o mesmo triângulo que nós temos lá inicialmente né de catetos 3 4 e 5 a gente encontrou que a distância entre a e b por pitágoras pelo teorema de pitágoras era 55 unidades de medida mas aqui é usando esse modo de medir distância a gente vai percorrer do ponto a até o ponto c a gente percorre aqui quatro unidades e no ponto ser até o ponto de agente pé e três unidades ou seja a gente percorre sete unidades e aí nós tem que essa distância esse percurso ele é mais longo que o percurso euclidiano digamos assim há uma razão para isso eu vou deixar até como a tarefa de casa depois para vocês mas o fato é que a menor distância entre dois pontos no plano realmente é dada pelo comprimento do segmento de reta que une esses poços ou seja pela distância euclidiana mas nem sempre esse percurso pode ser feito e aí a gente tem que considerar outros modos que percorrer a distância a gente viu um contexto é aqui inicialmente onde faz muito sentido considerar isso é na geometria urbana a geometria das duas é e aí isso dá margem para muitas aplicações e números aplicações por exemplo se você tá usando um aplicativo de transporte e esses famosos aplicativos eles usam geometria do táxi é ou aproximações para achar a distância entre onde você está e onde você quer ir no sistema lá o veículo pelo aplicativo ele te da distância vai calcular quanto você tem que pagar isso tudo a gente faz por meio da geometria do taxi taxista se você quer planejar rotas por exemplo a coleta de lixo então o caminhão ele tem que sair e se deslocando pela cidade obedecendo o desenho que aquela cidade possui ruas e avenidas obstáculos e assim por diante então intenção em números aplicações que a gente pode pensar para esse modo diferente é de calcular distância e agora é no caso geral que eu tô chamando aqui de táxi distância né o distância do taxista entre pontos de coordenadas x e y a x b y b é dado por essa linda expressão que é que está módulo x db – x de armas módulo y d y de la vía é como se adotando essa expressão analítica aqui a gente dissesse olha você num triângulo retângulo não vai percorrer esse segundo a hipotenusa vai percorrer segundo os comprimentos dos catetos pensando sempre né que ela ideia de contornar as os quarteirões de uma cidade não é nessa perspectiva que a gente pensa a distância do taxista pois bem e tem vários sinônimos sinônimos para essa distância do taxista né tem distância do táxi tem distância de manhattan distância de manhattan não é fortemente inspirada no fato de que as ruas de manhattan conforme a gente vê anteriormente ela só obedecem um padrão muito parecido com uma malha quadriculada é de um plano cartesiano a distância l1 a distância de tietê block aí assim por diante é um são vários são várias possibilidades para essa distância então já apareceu aqui o próximo slide né porque tem um pouco a surpresa mas é o seguinte eu queria só de estar com alguma coisa aqui para vocês eu vou voltar aqui alguns slides e veja se a gente considera a geometria do táxi para calcular a distância entre dois pontos é diferente do que ocorre no caso euclidiano onde existe o único segmento de reta unindo esses pontos e um único segmento de reta ele dá para gente a distância entre os bons no caso da geometria do táxi é claro respeitadas as possibilidades de percurso é os obstáculos não impedem assim por diante onde a gente pode traçar vários percursos para sair do ponto a e chegar até o ponto b com a mesma distância ou seja qual a distância de sete unidades a gente pode percorrer esse essa distância de várias maneiras dá para contornar as ruas e avenidas aqui e várias formas e todas essas e tem a a mesma distância a menor distância possível claro eu posso sair dando voltas e para um ponto distante voltar e chegar no ponto de posso mas em geral a gente admite que a distância ela oferece o menor percurso é aquela que proporcionam melhor percurso então quando a gente fala de distância é pensando nesse aspecto de menor percurso e aí no conexão interessante que aparece é com combinatória que pode ser explorado inclusive na educação básica é que diversos modos existem para a gente poder percorrer a distância entre dois pontos na geometria do táxi e a gente pode relacionar isso com o conceito de combinação simples é temos aqui uma forma sozinhas e deixe para gente quantos caminhos diferentes e de menor percurso existem entre os pontos a e b estão uma tarefa de casa né eu não vou me alongar muito nesse detalhes em razão do tempo mas uma tarefa de casa é pensar na no por quê que essa forma vale é só destacamos clientes e sim aqui é claro aqui é a fórmula das combinações de n elementos tomados pepe então esse n aqui é a distância entre os pontos ok então distância entre os pontos e o p aqui e o que são as quantidades que a gente anda a direita ou seja horizontalmente e para cima verticalmente claro pode ser prescrita também para baixo e assim por diante ok então isso daí é uma tarefa de casa para vocês pensarem durante o decorrer da noite e outra coisa interessante a gente vai formalizar agora é formalizar o conceito de distância ou seja a gente viu o significado do dicionário mas a gente tem entender o que é que significa distância do ponto de vista matemático moderno segundo os parâmetros atuais não é de rigor matemático então veja é uma distância eu vou tentar traduzir aqui uma distância é sujo da seguinte forma você considera um conjunto eu tô chamando aquele conjunto é conjunto não vazio e aí é se nós estabelecemos no função o que pega dois elementos desse conjunto é só um par ordenado e associa a um número real ou seja essa função ela é definida de é carteziano é nos reais esse é aqui gente é princípio pode ser um conjunto qualquer a gente não faz nenhuma restrição em relação a ele apenas que não seja vazio pois bem então se essa função de pega dois elementos do conjunto é e a sorte o número real se ela possui essas quatro propriedades e eu vou tentar reproduzir aqui direitinho para vocês é a seguinte ó é a função aplicada em x e em ele mesmo dá zero o x diferente de y implica e assunção aplicada em x e y é sempre positiva assunção aplicada em y e x é igual a função aplicada em y e x né xy yx é como se a ordem que você tá usando aqui ela não altera o resultado e por último essa quarta desigualdade aqui né as famosa desigualdade triangular ela diz o seguinte a função é aplicada dx até z é menor do que ou igual que a soma da função aplicada dx até y mais dytz norte a conexão aqui ó y x até y y e z veja essas propriedades elas têm muito em comum com o nosso sentido físico intuitivo distância o que a gente tá dizendo aqui é de modo matemático é basicamente seguinte ó é a distância entre dois o iguais e tem que ser 0 no primeiro caso aqui no segundo caso tá dizendo que a distância entre ponte diferentes tem que ser positiva o tensão do carro está dizendo o seguinte a distância de x até y é igual a distância ytx ou seja é não faz sentido você inverter aqui a ordem sair de x aí dá y e você sai de isso não vai para x a distância tem que ser a mesma e por último essa quarta desigualdade ela disse que você idx até dizer é menor é mais próximo é mais perto do que você ir de x até y e dytz é basicamente isso que significa então se você tem uma função com essas quatro propriedades você tem uma métrica uma médica no conjunto é o conjunto é passa a ser chamado de espaço métrico e isso daí é da margem para uma discussão muito o fundo no contexto da matemática pura a gente tem aí várias enfim em várias áreas da matemática e partem desses conceitos básicos e avançam bastante em particular topologia é um ramo muito bonito da matemática pois bem e veja aqui quando você tem uma função com essas propriedades o número real ou seja a imagem dessa função é a gente chama de a distância de x a y e aí você pode encontrar inúmeras fórmulas que satisfazem essas propriedades e portanto são distâncias no sentido matemático atual esse esse conceito aqui de distância ele foi formalizado pelo matemático francês nem morri flasher no início do século 20 é uma coisa relativamente atual e já tinha aí algumas manifestações né com linkowski é que inclusive apresentou a distância do táxi se me conta que ele foi muitos professores de albert einstein ele trabalhou na alemanha enfim e em fins do século 18 ou 19 ele já apresentava outros modos de calcular distância diferentes do modo euclidiano ah pois bem eu não vou alongar muito nessas questões né mas a gente pode como tarefa de casa depois né tentar verificar que de fato a distância euclidiana ea distância do taxista elas satisfazem aquelas quatro condições porque são métricas e são rigorosamente distâncias e uma relação importante e pode ser verificada parabéns hein muito trabalho essa daqui ó a distância euclidiana ou seja calculado o segundo teorema de pitágoras entre os pontos x e y é claro pontos no plano aqui nesse x esse isso não são os pontos no plano é menor do que ou igual que a distância do táxi entre os mesmos postos é aquela história de percorrer direto aqui pela geometria euclidiana e na distância do táxi percorrer segundo o contorno e os catetos do triângulo retângulo de fato essa desigualdade ela é uma relação importante é pense se você quer por exemplo construir uma cidade e se você deseja é minimizar o percurso então é importante você deixar o máximo possível de situações onde a geometria euclidiana pode ser utilizada ou seja onde a distância euclidiana pode ser calculada os pontos com ligações diretas por segmentos de reta então isso é uma coisa a se pensar é muito bem oi aqui é só pra destacar né que se você percorre direto ea para ver de fato você anda menos você caminha menos do que se você for de até ser e depois de ser até b é bem aí agora é quando a gente muda a noção de distância na geometria do táxi a gente muda em relação a geometria euclidiana algumas coisas começam a acontecer e coisas curiosas é então veja eu queria só fazer aqui um alerta aqui é o seguinte a gente não pode exclusivamente ficar preso às representações visuais essas representações podem ser muito enganosas então o que de fato caracteriza um objeto matemático ou geométrica é a sua definição é a sua piedade que ele possui não é aparência que a gente é ver o que a gente representa eu tenho que ter cuidado ok então o que a gente faz basicamente é adotar as mesmas definições de euclides né pra reta para triângulo para círculo e de posse dessa nova medida de distância dessa nova métrica ver o que que acontece é que muda que fica igual e assim é a primeira coisa que eu destaco é a noção de reta na geometria do táxi então veja eu tenho aqui dois pontos os pontos a e b construídos veja aqui uma malha quadriculada né lembrando muito a questão da geometria do táxi lá de manhattan e eu posso pensar numa reta unindo esses pontos segundo esse percurso aqui de baixo sai de ar vai até b norte que é o percurso mínimo segundo a geometria do táxi já que eu não posso ir diretamente de a até b por um segmento de reta e a gente vai contornando aqui os carpetes eu posso ir também por esse outro percurso aqui a e posso imaginar vários percursos intermediários unindo os pontos a e b essas vão dizer externa mas isso aí não parece com uma reta de fato não parece com a reta nos moldes euclidianos porque estamos usando uma outra medida de distância e isso é uma reta segunda a geometria do táxi ou seja a gente considera aqui os pontos a e b considero o menor caminho possível entre eles segundo essa medida de distância e ainda conforme o tenente a gente pode prolongar indefinidamente aqui e aqui e aí nós temos uma reta é basicamente pegar a definição de euclides ou postulado de euclides a verdade é o postulado para ser mais preciso e adaptar nesse novo contexto do acha meter no táxi então temos aqui é que dois pontos determinam mais de uma reta então já é uma diferença entre a geometria do táxi e a geometria euclidiana não adianta dando a geometria do táxi é um geometria não-euclidiana porque ela quebra vários axiomas ele não obedece vários prefeitos axiomas da geometria euclidiana quem trouxe um primeiro resultado para gente destacar outro resultado que vale a pena ressaltar nesse momento introdutório é a questão das retas paralelas veja se a gente pensa na geometria euclidiana é retas paralelas são retas do mesmo plano que não tem ponto em coluna não tem intersecção mas é se a gente pensa aqui num contexto não aquele dia me da geometria do taxista e eu vou tentar traduzir esse desenho aqui para vocês ó tô imagine aqui a reta determinada pelos pontos a e b reta segundo a geometria do táxi ok então essa reta aqui a gente vai olhar para o pontos e aqui em cima o ponto c está fora dessa reta e euclides para a gente que existe passando ou cê uma única reta paralela a essa reta bem é o quinto postulado na na famosa formulação de playfair pois bem então estamos exibindo aqui é duas retas que não tem ponto em comum com a reta b portanto são paralelas estão situados no mesmo plano e que passam pelo ponto c então temos aqui essas duas retas essa primeira reta né que aqui ela prossegue essa outra que sobe mais um pouquinho e aí consegue então nós temos aí é uma diferença em relação ao geometria euclidiana é o mais o resultado é para a gente guardar e agora as coisas começam a ficar ainda mais interessante vejo um conceito de triângulo a gente sabe que é um polígono de três lados em adiamento aquele diana mas veja o que acontece na geometria do táxi que isso que ela está é um triângulo de vértices a b e c agora porque é um triângulo porque veja é eu quero traçar um segmento de reta segundo a geometria do táxi entre os pontos a e b eu não posso ir diretamente de a até b e eu preciso ir percorrendo aqui a os catetos posso eu devo fazendo aqui o contorno então isso daqui é uma possibilidade não possibilidade cheguei no ponto b note que essa é a menor distância do táxi possível de a até b eu poderia sair deslocando por outros outras regiões mas aí eu andaria mais então esse é o caminho mais curto o tanto um segmento de reta então aqui tem um segmento ab corresponde ao lado ab do nosso triângulo é um do bebê para ser para fazer o lado bc não é prossigo aqui ó novamente seguindo a geometria do táxi chega no ponto c e aí tem o lado de ser esse finalmente para chegar o triângulo eu venho novamente ó seguindo aqui o contorno até chegar no ponto a e aí esse objeto é um triângulo segundo a geometria do táxi essa é a gente pensa em ângulos euclidianos é veja aqui olá a ab aqui é o lado abreu vai até aqui ó a forma com o lado bc um ângulo de 90 graus aqui e o lado bc aqui ó e vai até aqui ele forma com o lados a aqui ó mais um ângulo de 90 graus mas já tem 180 né e aí esses esses resultados curiosos eles surgem em razão de nós temos modificado o modo de medir distância na geometria do táxi tão só a título de curiosidade na geometria de lobachevsky aliás de rima a geometria esférica ou ali fica é os triângulos a eles são são diferentes um pouco da geometria euclidiana ea soma dos ângulos internos de um triângulo é maior 180 graus na geometria hiperbólica neve lobachevsky bola em a soma dos ângulos internos de um triângulo retângulo em um triângulo qualquer perdão ela é menor que 180 graus não essas coisas acontecem em razão da negação do quinto postulado de euclides as pessoas não hoje não vou atrapalhar muito você não só pra tentação tá maravilhosa o senhor como sempre dando um show é só para dizer que nós passamos de uma hora também com uma hora e chique da apresentação mas você pode beber uma aguinha respirar um pouco mas a gente pode até uma hora e meia tá certo pode ficar tranquilo pronto pessoal tá adorando só comentários positivos tá bom e continue ainda no seu show camarada estamos aqui no apoio também agradeço muito a sua gentileza eu dou uma gentileza do pessoal também está acompanhando aí eu vou adiantar aqui algumas coisas é para tomar um mais uns 5 ou 6 minutos para a gente poder finalizar e abrir um pouco para as perguntas pois bem é e outra coisa que a gente vai discutir um pouquinho aqui é a nossa onde circunferência na geometria do táxi então eu vou começar aqui com a definição é de circunferência é lembrar definição é o seguinte é é o conjunto dos pontos do plano ou o lugar geométrico que estão a uma distância fixa e um ponto dado certo tão esses pontos que estão distância fixa a gente chama de raio e um ponto dado chamado centro é a circunferência é a definição de circunferência pois bem se a gente adota essa definição de circunferência na geometria do táxi veja que aqui é a gente tem representação algébrica então nós temos aí módulo de x – ar mas modo de y – b = r porque é só gente lembrar é que segundo a distância do táxi é a gente calcula a e usando esses módulos aqui e aí e o significa que a distância do ponto x aliás do ponto p de coordenadas x e y até um ponto c de coordenadas a e b é dado por módulo de x – a mais modo de pelo menos bem então eu convido vocês a voltarem a gravação vai ficar disponível para ver lá fórmula zinha da distância do táxi que de fato é essa expressão algébrica que representa é uma circunferência na geometria do táxi pois bem a gente lembra a definição de módulo em números reais e aí é o módulo de x ele é xx for não negativo e o módulo de x ele é menos xx como negativo então a gente aplica definição tanto aqui no x menos a ny – b e aí a gente obtém quatro equações eu estou aqui a destacar são quatro equações de retas e quando a gente pensa em vai fazer 15 anos não são quatro equações de retas euclidianas a gente obtém e isso é o que vai nos dar a circunferência na geometria do táxi então a gente traz essas quatro equações e a gente vê a figura que nós iremos um ter é veja isso daqui só para para ganhar tempo eu vou fazer é no geogebra dois exemplos aqui rapidinho para gente encerrar como tarefa de casa eu vou expor aqui mais alguns exemplos tem um deles se ele calcula o comprimento de cada circunferência e o outro é determinar o valor de i na geometria do taxista certo eu vou fazer esses dois casos o caso no caso dois é e aí vou mais ou menos esboça como que a gente acha o valor de pi na circunferência taxista a gente encerra por aqui aí e eu vou voltar para o geogebra aqui é muito bem então tô voltando aqui para o geogebra eu acho que vai aparecer para vocês e pronto maravilha é veja o primeiro exemplo anterior ocorreu um pouco razão do tempo mas ele pediu para que a gente desenhar-se uma circunferência do táxi a de centro na origem do plano cartesiano e raio 5 tão alcinha o centro é origem é o ponto zero zero os pontos dessa circunferência eles estão a distância fixa e 5 unidades no ponto zero zero então a equação da circunferência não geometria do táxi ela é dada da seguinte forma vai ficar aqui é só maximizar aqui a janela alto então vai ficar aqui módulo e esperam um modo dx – 0 é simplesmente o modo de x mais o módulo disse pelo menos 10 é simplesmente o modo de espera e essa expressão ela representa a distância dos pontos x y da circunferência até o centro né até o ponto zero essa distância tem que ser cinco é o raio 5 eu vejo que coisa curiosa a gente vai encontrar aqui bom então nós temos aqui um objeto que parece um losango é parece um quadrado e de fato é sem muito esforço a gente verifica que esse objeto ele possui aqui os lados e o gruentes isso é o conjunto dos pontos do plano que estão distantes 5 unidades da origem segundo a geometria do taxista por exemplo vamos pegar ter esse ponto aqui é o ponto -4 e um não vou destacar aqui o ponto -4 e um note que se eu calcule a distância do taxista desse ponto – 41 até a origem até o centro da circunferência eu perco uma unidade para baixo eu andei uma unidade e ando mais quatro unidades aqui até chegar no zero portanto no total eu ando 5 unidades tá certo e aí nós temos é um exemplo de circunferência na geometria do táxi é como o nosso tempo tá um pouco curto eu vou adiantar um pouco aqui mas eu já já falo para vocês que tem muitas coisas que dá para ser exploradas com a geometria do táxi é comparando com a geometria euclidiana então você pode ver como é que fica as elites as parábolas e hipérboles você pode verificar quais propriedades são válidas na geometria do táxi e não são na geometria euclidiana e vice-versa é assim por diante então presente só para gente finalizar o famoso caso de congruência de triângulos lado-ângulo-lado que gilberto incluiu como um postulado né com o axioma na sua geometria é esse axioma ele não vale nasceu meteu o táxi então o caso lado-ângulo-lado de congruência para triângulos aqui não é válido e aí você pode escolher eu queria tanto do ponto de vista da matemática pura é fazendo essas comparações com glitter poliana e você pode também aplicar isso em vários contextos que vão aí desde transporte de carga zé enfim percurso de táxi aplicativo de transporte em várias possibilidades para explorar isso em vários níveis de ensino também mas da educação básica ensino fundamental médio e até no ensino superior então eu não vou me alongar mais eu paro por aqui eu dirijo agora a palavra para o professor bruno lopes para que ele conduza a nossa parte final do momento de hoje é muito obrigado a todos é perdão pela correria no final agora em tinha um anunciaram meu camarada as nãos parabéns amigo eu tava querendo nos bastidores assistindo apresentação e muito feliz com tudo que você comentou e eu também acompanhei um pouco chato e aqui e pessoal também mais uma vez só elogios e durante a tua apresentação fiz algumas anotações o que eu achei bastante pertinente então primeiro dizendo aqui para todo mundo que não conhece professoras não né vocês podem perceber o quanto professor e um professor completo passeou pelo história da matemática fala sobre operação aplicação da matemática né também destacou alguns pontos importantes da matemática pura e destacou lá um pouquinho de espaço os médicos falou de combinatória falou de modo número real não é verdade mostrou para a gente também nessa questão agora quando a circunferência no final viram quadrilátero meio pouquinho sobre tudo isso mostrou o quanto é importante é a questão das definições né hum dentro da da matemática então usando definições chegou o resultado surpreendente lá na na geometria do taxista e eu só tenho aqui a dizer que parabéns mesmo tá super satisfeito com tudo que você apresentou é quem assistiu a tua apresentação tem aí um bocado tarefinha e a gente não pode deixar de passar com um professor de matemática e eu quero ver eu vou tentar aqui depois a gente dormir a questão do pin né você falou como é que ficaram o piauí dentro da geometria taxista fantástica eu vou dar uma pesquisada também vou ler eu fiquei super animado com tua apresentação e aqui eu peguei dois pontos que você não sei se falou no automático tá mas já registrado nos vídeos e você sugeriu o temas botei aqui serão outras lives do professor orlando é é primeiro sobre o infinito você destacou lá no início da apresentação e também sobre a questão das geometrias não-euclidianas e as pessoas não vamos ter outras lave suas sobre os sistemas aí me conte por favor ai ai é o seguinte gente é o primeiro agradecer a gentileza de todos vocês agradecer a equipe técnica o professor carlos dentro professor ivaldo eu sou bruno então são colegas de trabalho são amigos que realmente esse dom e são essa importante é pedir desculpas por essa correria no final eu tinha mais algumas coisas para falar mas eu confesso que eu sou péssimo para lidar com o tempo né e ainda mais assim esses moldes tecnológicos é realmente e a gente tem um pouco de dificuldade quanto ao pin só uma dica é a seguinte aplicar a definição da geometria euclidiana né o comprimento de uma circunferência é 2 x pi vezes o raio da circunferência então você calcule o comprimento da circunferência segundo a distância do táxi calcula o raio segundo a distância do táxi na verdade já tá dado e a partir desse você acha o pe vocês vão se surpreender é um valor diferente do usual é o valor bonitinho aí é uma coisa que vale a pena não tá aqui outras vezes várias nem sempre é 3,14 não é isso depende da métrica e você está acontecendo é aquela velha história né matemática é exata e dois mais dois é quatro depende da álgebra se você tá na áudio os dois né ah o resto das de resto módulo 2 então 2 mais 2 a 0 é correto inferir o pib pode ter outros valores diferentes e quanto a vários futuras pode ser sabe a gente tá disponível e aí e maravilhas aí ó é muito bom e eu anotei aqui você falou sobre a questão dos infinitos sobre a questão geometrias não-euclidianas outros temas interessantes aí eu quero bater mais como que o senhor viu estamos à disposição e meu querido fique à vontade me perguntar quem é meus amigos bem erivaldo se tem uns perguntas da plateia nessa pessoal que tá assistindo a live pelo youtube ou pelo facebook da do nosso campus está com aí erivaldo compartilhou uma uma mensagem uma pergunta não consegue enxergar consigo consigo maravilha aqui ó ah pois bem eu nosso colega erivaldo ele coloca aí uma uma questão é pequeno comentário sobre as geodésicas bom é o seguinte as geodésicas elas fazem o papel de retas na geometria esférica na geometria de rima proposta por cima essa geometria ela tem importante é tremendo do ponto de vista prático porque a terra é redonda é o muito próxima de ser redonda tem um certo achatamento os músculos mas não atrapalha digamos assim os carros então se a gente considera a distâncias é um pouco longas por exemplo se você quer ir de recife até lisboa sobre o sobre o globo terrestre então não faz sentido você calcular distância euclidiana porque esses pontos estão sob uma esfera e aí entra a questão da geodésicas as geodésicas elas o máximo que passam pelo centro da esfera então você pega o centro da terra um círculo máximo passa por esse ponto pelo centro e aí você traça retas a partir desses moldes unindo por exemplo recife-lisboa quando os integrantes então é no caso de distâncias consideráveis tem até um percentual zinho é onde você pode considerar espaço euclidiano por exemplo a distância de pesqueira até recife se você tomar é a distância aérea você pode considerar o cleide ana porque a distância entre esses pontos é pequeno em relação ao todo o globo terrestre então não há necessidade de ir para diabéticos caso contrário você tem que de fato calcular distâncias segundo geodésicas e a isso é usado tanto na navegação aérea e quanto mais vítima também é que você tem que calcular distâncias segundo esse o modo de de percurso é muito bom tá vendo um homem que conhecimento demais que maravilha satisfação em ter o nosso canto viu agora responda essa pergunta da professora charlene e aí saia dança eccellente muito colocação da colega charlene né segundo adiamento do taxista kiko do seriado chaves que razão e existe bola quadrada existe de fato então é quando a gente estuda com apologia espaços médicos análises rn tem muito risco é bola aberta de centro tá o raio tal é e esse caso da geometria do táxi é um caso de existência de bola quadrada eu tenho até o teoria sobre isso é roberto bolanos né o criador de carga ele era engenheiro mecânico na verdade ele estudou engenharia mecânica então pode ser que essa associação né com a bola quadrada não tenha sido meramente ao acaso deve repente ele tomou conhecimento né pelo por algum meio da geladeira taxista e colocou isso de modo lúdico mais faz um certo sentido é que a gente considera distante do táxi é muito bom muito bom assim eu espero que seu demora encontrar com esse professor com roberto bolant poder tirar sua dúvida viu não seja tão breve neste encontro não eu também espero que demoram bastante apresenta uma pergunta dentro da nossa ex-aluna franciane é muito bem muito bom essa pergunta de franciane como os anteriores também é e assim eu pensei nesse tema principalmente porque ele tem muitas conexões com a matemática da educação básica e essas conexões podem ser ampliados e aprofundados até o ensino superior eu creio que a principal contribuição o as principais contribuições é primeiro quebrar com certos prefeito certos dogmas e os alunos têm como verdade e que ficou muito solidificados durante a formação acadêmica por exemplo é a menor distância entre dois pontos é uma reta um segmento de reta a geometria euclidiana é a única geometria que faz sentido no mundo físico e assim por diante então quando a gente pensa em desenvolver o pensamento matemático ou seja e além de manipulação de formas mas explorar hoje é texturas investigações as conexões entre conteúdos aparentemente desconexos que não tem muita relação e quando a gente pensa nessa perspectiva eu entendo que a geometria do táxi traz contribuições importantíssimas porque por um lado ela tem aplicações no mundo real o mundo cotidiano que vão desde a geometria urbana né deslocamento e cidades até a utilização de rotas é por exemplo uma companhia de telefone ela pode querer minimizar a quantidade de cabos gasta fazer ligações ela tem que ser da geometria do táxi e também você pode explorar do ponto de vista da matemática pula e aí você vai fazer investigações podem ser realmente muito interessante então tem várias possibilidades sem falar na geometria na gemas estão aquele anos na história na filosofia na sociologia da matemática então é um campo vasto e ao mesmo tempo amplo e profundo então eu vejo todo mundo pois claro excelente excelente acho que deu para entender muito bem a e a pergunta dele franciane e aí e olha a de rua é muito bem é franciane assim como gohan foram nossos alunos está no spa e vai na formação inicial lação colega de trabalho hoje em dia é e assim é uma satisfação poder contar com essa essa contribuição deles né a pergunta de ruan também é bastante pertinente e assim eu defendo que os alunos de ensino médio tem um realmente noção de geometrias não-euclidianas na américas básica claro você tem que ter cuidado com certos formalismos certos exageros é quando eu digo formalismo são definições muito rigorosos são fórmulas muito complicadas manipulação algébrica isso é nos primeiros momentos deve ser evitar você vai explorando o pensamento explorando experiências físicas aplicações e aí aos poucos vai abstraindo então quando eu penso que a escola tem um papel também é de educar científicamente é a paciência e pela ciência também a gente dois aspectos é inadimissível até né eu fico até até chateado quando certos conteúdos são privilegiados e outros não tão presente é uma coisa aqui que eu penso que ela refletindo aqui o nosso currículo ele é muito muito obsoleto muitas vezes nossa eu digo do brasil de pernambuco e outros locais também por exemplo é a geometria euclidiana que os alunos aprendem em geral e de 2.300 anos atrás com alguns ajustes né e linguagem denotação mas a essência é basicamente essa massa alguma figura colorida né região um desenho mais bonitinho mas busca da mesma coisa você imagina um professor de biologia ensinando hoje em dia conteúdos de 2.300 anos atrás mas fica um pouco deslocado isso é claro se tem a biologia mas vale para outras aves também g1 eu disse assim colher então eu defendo que temas mais recentes devem ser incluídos podem ser incluídos já até orientei terceiro nessa perspectiva licenciatura não temos mais recentes como teoria dos jogos geometrias não-euclidianas podem ser discutidos no ensino básico visando ampliar a o avanço do pensamento matemático dos alunos não é formalismo não é manipulação algébrica por si só claro que os momentos de tudo mas a essência não é essa é digamos assim faz de divulgação científica ampliar a compreensão conceitual e de fato é abre a mente para novas coisas que existem a gente sua importância e e fazem falta na nossa escola nada mais ou menos muito bom muito bom é eu tava olhando aqui o chat antes da pergunta de de mim não mas não é ruan que tinha deixado pela mensagem lá pedindo assim diga baby diga que negócio é esse viu o oi aqui é essa pronto vindo fica à vontade meu querido desculpa tá bom então eu acho que eu não sei se entendi bem sua pergunta mas se eles assim né para ir de um ponto a para um ponto b é feito um trajeto de comprimento euclidiano e para voltar de ponto b deve ser feito um outro a gente comprimento euclidiano eu considero duas distâncias entre os pontos eu não sei se entendi bem mas é assim relaxamento de táxi você sempre mede distâncias usando aquela relação à dos módulos né x db a menos x de ar e módulo mais ydb menos onde a então essa é a maneira de medir distância quando você considera que esses ponte tem coordenadas inteiras com o nosso caso a gente não teve tempo nem de ampliar para coordenadores não inteiras fica para um segundo momento esse modelo de geometria cai muito bem na chamada geometria urbana de cidade e assim por diante agora você tem diversos percursos possíveis entre os pontos a e b não existe apenas um e eu tenho diversos pontos percursos possíveis nessa malha quadriculada mas todos os percursos usam a definição de geometria do taxista então nos moldes taxistas não nos modos eu pedi anos é usando o teorema de pitágoras que ia ligar diretamente os pontos a e b por um segmento de reta é sempre fazendo o contorno lá nas quadras então você vai pela geometria do táxi volta também agora a várias possibilidades para fazer o percurso a combinatória e diz quantas possibilidades existem então ele foi rosa parecem de casa nada pessoas não ter aqui em casa ela tá descendo de casa dos nossos a fala das pessoas está assistindo a verdade sua palestra ela pergunta do colega ruan aí sim você pode aplicar a geometria do taxista no r3 é segundo exatamente o mesmo caminho que a gente fez você pega definições de objetos euclidianos segundo os reptilianos e aí você para esses objetos aplica a métrica a distância do taxista e aí você vê que é que vai obter é no plano a gente obtém que a circunferência do taxista é um quadrado aquele quadrado ele tem uma inclinação se vocês já perceberam direitinho são as diagonais do quadrado que ficam paralelos ou ficam sob os eixos x e y então é um quadrado inclinado né os lados ficam inclinado em relação ao xixi é e você pode fazer isso no r3 sem problema algum em ver que que vai acontecer com os objetos que você tem lá é para pensar esse no plano a circunferência o quadrado o espaço será que ela vai virar um cubo e não espera né a espera vai virar um cubo e aí seria de fato realmente a bola quadrada na tia lene lembrou de chaves médico será ah então dá para estar assim é muito bem ailton é boa noite veja você pode o caminho assim digamos inicial é para você aprofundar os estudos é primeiro continuar lendo a sobre geometria o taxista eu me coloco à disposição né para depois indicar uma biografia mais detalhada para você mas um primeiro caminho é você explorar de fato definições da geometria euclidiana com a distância do taxista então esse é o primeiro caminho num segundo momento é você pode por exemplo estudar uma trigonometria na geometria do taxista não se pode definir ângulos você pode construir seno cosseno ou algo parecido é com esses objetos com essas noções e isso também é interessante não é para um segundo momento e também uma coisa que que eu acho interessante são as aplicações no seu muitas e aí se você digitar no google distância de manhattan aparece coisas ligadas à informática estatística a uma área interessante cima que a otimização é você achar máximos e mínimos é de percursos enfim tem muito pano para manga tanto do ponto de vista da matemática pura quanto da matemática aplicada não é por aí ó as maravilhas não então essas foram as nossas perguntas tá certo ou não se você quiser fazer algum comentário final alguma conclusão encerrar e que a vontade meu amigo muito bem então é só dizer que eu me coloco à disposição né para conversar com os interessados é o meu e-mail cria que foi exibido em vai ser advogado apresentação muito bem eu agradeço a paciência de vocês peço desculpas é pela correria no final então faltou aqui algumas coisinhas quem sabe no segundo momento a gente volta para elas é agradeço à equipe técnica os professores bruno carlos vindo e erivaldo né então as sempre auxiliando a gente sempre disponíveis então muito obrigado e até a próxima fiquem bem nesses tempos difíceis e quem todos muito bem e a gente continua nossa conversa ou virtualmente ou não posso falar e quem sabe um abraço a todos muito obrigado ainda muito obrigado mesmo tá certo a gente aprendeu muito com sua palestra hoje e fala com teus comentários também aprenderemos né através das tuas respostas então amigo parabéns tá certo assim o brasil aí tá conhecendo um pouco de dentro de um dos nossos professores do campus pesqueira é o nível a qualidade a competência sucesso na amigo a gente se vê em breve obrigado valeu que no aqui ainda nossa live tá só um um parênteses aí um recadinho nós webinário né sempre é segundo as portas e festas na próxima quarta-feira temos então o nosso ebmat com este que vos fala aqui tá comigo professor bruno lopes vamos falar um pouco sobre problemas e probabilidade geométrica então estão todos convidados tá bom próxima quarta-feira também conhecido como cinco de agosto às 8:00 tá certo da noite no youtube e também no facebook tudo bem espero vocês e na próxima webmate quarta-feira às 8:00 abraço a todos tá e até mais

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