Introdução

Neste vídeo, vou te familiarizar com o conceito de limite, que é muito importante. Na verdade, é o conceito sobre o qual toda a análise matemática é baseada. Apesar de ser tão crucial, na verdade, é um conceito bastante simples. Então, vamos desenhar uma função aqui - na verdade, vamos definir uma função. Uma função simples. Então, vamos definir f(x) - vamos dizer que f(x) será (x-1)/(x-1). E você pode dizer, "Hey Sal, olha, tenho a mesma coisa no numerador e no denominador. Se dividirmos algo por si mesmo, então será igual a um! Não podemos simplificar isso para f(x) = 1?" E eu digo, "Bem, é quase isso, a diferença entre f(x) = 1 e isso aqui é que isso aqui é indefinido quando x=1. Portanto, se colocarmos - vou escrever aqui - se você tiver f(1), o que acontece? No numerador, você terá (1-1), que é ... vou escrever aqui ... no numerador você terá 0, e no denominador você terá (1-1), que também é zero. E qualquer coisa dividida por 0, incluindo 0/0, é indefinida. Portanto, precisamos simplificar - você pode dizer que é a mesma coisa que f(x) = 1, mas você precisa ter em mente que x não pode ser igual a 1. Agora isso e isso são equivalentes. Ambos serão iguais a 1, para todos os x diferentes de 1. Mas em x=1, é indefinido. Isso é indefinido e isso é indefinido. Então, como vamos representar graficamente essa função? Vamos representá-la graficamente ... Este é o meu eixo y=f(x), e este aqui é o meu eixo x, e então vamos dizer que este é o ponto x=1, este é x=-1, este é y=1, aqui você poderia colocar -1 mas não tem relação com essa função, e vamos representar graficamente. Então, é fundamental que para todo x diferente de 1, f(x) = 1. Vai ficar assim ... exceto em 1. Em 1, f(x) é indefinido, então vamos colocar um buraco aqui, um círculo, para mostrar que essa função não é definida - não sabemos como é a função em 1, nunca definimos ela. Esta definição da função não nos diz o que fazer em 1 - é simplesmente indefinida quando x=1. Portanto, esta é a função aqui, e mais uma vez, se alguém te perguntar o que é f(1), você ... vamos dizer, esta é a definição da função, você pega x=1. Ah espera, há um buraco na minha função aqui, é indefinido. Vou reescrever ... bem, é um pouco exagerado mas vou reescrever. f(1) é indefinido. Mas e se eu te perguntasse, a quem a função se aproxima quando x=1? E agora, isso começa a tocar no conceito de limite. Então, quando x está ficando mais próximo e mais próximo de 1 ... a quem a função se aproxima? Então, todo esse tempo, a quem ela se aproxima? À esquerda, não importa o quão perto você está de 1, desde que você não esteja em 1, f(x) = 1. Aqui, à direita, obtemos a mesma coisa. Portanto, você pode dizer - e você estará mais familiarizado com esse conceito à medida que trabalhamos com mais exemplos - que o limite de x (e lim, abreviação de limite) - quando x se aproxima de 1 de f(x) é igual a ... Quanto mais nos aproximamos, mais incrivelmente próximos estaremos de 1, desde que não estejamos em 1 ... E nossa função será igual a 1, porque ela está se aproximando cada vez mais de 1, na verdade é 1 o tempo todo. Então, neste caso, podemos dizer que o limite quando x se aproxima de 1 da função f(x) é 1. Mais uma vez, há uma observação um pouco luxuosa, diremos, "Olha, a quem a função se aproxima quando x se aproxima de 1?" Farei outro exemplo quando lidamos com um buraco, para que você tenha uma ideia geral. Então, digamos que temos a função f(x) - vamos, para diversificar, vamos chamá-la de g(x). Digamos que g(x) é igual a - podemos defini-la desta forma, podemos defini-la como x² quando x não é igual a 2, e digamos que quando x=2, é igual a 1. Novamente, uma função interessante que - como você está vendo - não é completamente contínua. Tem uma interrupção. Vamos desenhar o gráfico dela. Este é o meu eixo y=f(x), e este aqui é o meu eixo x. Digamos que x=1, aqui é x=2, este é -1, este é -2 ... Então, em todo lugar, exceto em x=2, é igual a x². Vamos desenhar assim, será uma parábola, algo assim ... ficará algo ... Vou desenhar uma versão melhor da parábola. Então parece algo assim, não é a parábola mais bonita desenhada na história dos desenhos de parábolas, mas acho que é suficiente para você ter uma ideia de como a parábola se parece, espero. Deve ser simétrica ... Vou redesenhar, porque está parecendo feio. Isso parece melhor, bom, aqui está. Agora, este deve ser o gráfico de x², mas não de x² quando x=2. Novamente, quando x=2, deve haver uma interrupção aqui, então vou desenhar um buraco aqui, porque quando x=2, nossa função é igual a 1. Não estou fazendo na mesma escala ... Na curva de x=1, nossa função é igual a 1. Então, esta é uma função estranha, mas você pode defini-la de qualquer maneira que quiser! E assim, observe que é como o gráfico de f(x) = x² exceto quando você chega a 2, há um buraco, porque você não usaria "g(x) =x² quando x=2", você usaria "g(x) = 1". Se eu estava usando f(x), peço desculpas. Use g(x) = 1, então exatamente em 2, cai para 1, e depois continua pelo x². Então, há duas coisas. Se eu fosse avaliar apenas a função - g(2), veja esta definição. Bom, quando x=2, usamos esta situação aqui, e isso me diz que será igual a 1. Vou te fazer uma pergunta interessante, ou talvez uma pergunta mais interessante. Qual é o limite quando x se aproxima de 2 de g(x)? Novamente, uma observação luxuosa, mas estou fazendo uma pergunta muito simples. Estou dizendo "quando x se aproxima e mais próximo de 2 ... até que ponto ele se aproxima de g(x)? Então, se você chegar a 1.9, e depois a 1.999, e depois a 1.999999 e depois a 1.9999999, a quem g(x) se aproxima? Se você estiver indo na direção positiva, como se pegássemos 2.1, quanto é g(2.1)? Quanto é g(2.01)? Quanto é g(2.001)? A quem você está se aproximando conforme se aproxima mais de 2? E isso pode ser visto visualmente apenas desenhando o gráfico. Conforme g se aproxima cada vez mais de 2 ... E se seguirmos ao longo do gráfico, veremos que estamos nos aproximando de 4, embora a função não esteja lá - a função cai para 1 - o limite de g(x) quando x se aproxima de 2 é igual a 4. Isso pode ser feito numericamente através de uma calculadora. E vou fazer isso, porque acho que será interessante. Vou pegar uma calculadora ... Vou pegar minha confiável TI-85 ... aqui está a minha calculadora ... Podemos dizer numericamente, bem, a quem se aproxima quando nos aproximamos de x=2? Vamos tentar com 1.9, para x=1.9, vamos pegar este ponto, aqui. Então, 1.9², teremos 3.61. E se nos aproximarmos de 2? Então, 1.99, vamos elevar ao quadrado novamente, estou em 3.96. E se pegarmos 1.999 e elevarmos ao quadrado? Iremos obter 3.996. Você vê, estamos nos aproximando cada vez mais do nosso ponto. Se nos aproximarmos o suficiente - 1.999999999999²? O que vamos obter? Não será exatamente 4 - esta calculadora acabou arredondando o número - porque teremos um número que está muito, muito próximo de 4. Também podemos fazer algo na direção positiva, e deveria ser o mesmo número quando consideramos de baixo, e de cima. Então, se tentarmos 2.1², teremos 4.4 ... Vai alguns passos adiante ... 2.0001². Agora, isso é muito próximo de 4. Agora estamos nos aproximando muito de 4. Então, quanto mais próximo estamos de 2, mais perto parece que estamos chegando a 4. Então, quanto mais próximo estivermos de 2, mais perto parece que estamos alcançando 4. Portanto, novamente, esta é a forma numérica de olhar para o limite quando nos aproximamos de 2 de qualquer lado de g(x) - embora em 2 a função seja igual a 1, porque é descontinua - o limite quando nos aproximamos de 2, estamos cada vez mais perto de 4.

Introdução aos Limites na Cálculo Diferencial | Khan Academy

Os limites são uma parte fundamental da matemática, especialmente no cálculo diferencial. Eles nos permitem estudar o comportamento de uma função à medida que esta se aproxima de um determinado valor. Neste artigo, vamos explorar os conceitos básicos dos limites, sua importância na matemática e como eles são utilizados na diferenciação de funções.

O que são limites?

Em termos simples, um limite é o valor ao qual uma função se aproxima à medida que a variável independente se aproxima de um determinado valor. Por exemplo, se considerarmos a função f(x) = x², o limite de f(x) quando x se aproxima de 2 é igual a 4, pois f(x) se aproxima de 4 à medida que x se aproxima de 2.

Os limites podem ser unilaterais, quando a função se aproxima de um valor apenas por um lado, ou bilaterais, quando a função se aproxima de um valor por ambos os lados. Eles são essenciais para a definição de continuidade de uma função e para a determinação de assíntotas.

Importância dos limites na matemática

Os limites desempenham um papel crucial em diversas áreas da matemática, como o cálculo diferencial e integral, a análise matemática e a teoria das séries. Eles são utilizados para definir derivadas, integrar funções e estudar o comportamento de funções em pontos críticos.

Além disso, os limites são essenciais para o desenvolvimento de modelos matemáticos em diversas áreas da ciência e da engenharia, como a física, a química e a economia. Eles nos permitem aproximar valores numéricos de funções complexas e analisar fenômenos naturais de forma mais precisa.

Como calcular limites na prática

Para calcular limites na prática, é necessário utilizar técnicas específicas, como simplificação algébrica, substituição direta, fatoração, multiplicação por conjugado e uso de limites conhecidos. É importante também compreender os diferentes tipos de limites, como limites infinitos, limites laterais e limites no infinito.

É fundamental dominar o cálculo de limites para o estudo do cálculo diferencial, pois muitos dos conceitos fundamentais desta área da matemática são baseados na noção de limite. Por isso, é essencial praticar a resolução de exercícios e problemas envolvendo limites para aperfeiçoar a compreensão e a habilidade de cálculo.

Conclusão

Neste artigo, exploramos os conceitos básicos dos limites na matemática e sua importância no cálculo diferencial. Os limites são fundamentais para o estudo do comportamento das funções e desempenham um papel crucial em diversas áreas da matemática e da ciência. É essencial compreender e dominar os limites para avançar no estudo do cálculo e expandir o conhecimento matemático.

A importância do estudo de limites na educação

O entendimento de limites é fundamental no ensino de cálculo diferencial, pois permite aos alunos compreenderem conceitos complexos e aplicá-los em diversos problemas reais. O estudo de limites também auxilia no desenvolvimento do raciocínio lógico e na melhoria das habilidades matemáticas dos estudantes.

Como a Khan Academy pode ajudar na aprendizagem de limites

A Khan Academy oferece uma plataforma online com aulas interativas e exercícios práticos que facilitam a compreensão dos conceitos de limites. Com vídeos didáticos e ferramentas de autoavaliação, os alunos podem estudar no seu próprio ritmo e sanar dúvidas de forma eficiente, tornando o aprendizado mais acessível e dinâmico.

O impacto do estudo de limites na formação acadêmica e profissional

O domínio dos limites é essencial não apenas para o sucesso acadêmico, mas também para a atuação profissional em áreas que demandam conhecimentos matemáticos avançados, como engenharia, física e economia. Portanto, investir na educação em limites é investir no futuro dos alunos e no desenvolvimento da sociedade como um todo.

A importância do estudo de limites na educação e como a Khan Academy pode auxiliar nesse processo

Neste artigo, discutimos a relevância do estudo de limites no ensino de cálculo diferencial e como a Khan Academy pode contribuir para uma aprendizagem mais eficaz. Destacamos também o impacto do domínio dos limites na formação acadêmica e profissional dos estudantes, ressaltando a importância de investir na educação matemática para o desenvolvimento da sociedade.

Fonte Consultada: Texto gerado a partir do Vídeo https://www.youtube.com/watch?v=riXcZT2ICjA do Canal Khan Academy .