POTÊNCIAS e PROPRIEDADES das potências | Matemática Básica | Prof. Gis/

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POTÊNCIAS e PROPRIEDADES das potências | Matemática Básica | Prof. Gis//a>

oi oi gente bem vindo a mais uma aula no meu canal eu sou ages e vou ensinar para vocês hoje sobre potência você tem dúvida então vem comigo é bom então hoje nós vamos falar sobre potências você sabe que é uma potência uma potência nada mais é que a multiplicação de fatores iguais então por exemplo toda vez que eu falei em potência eu tenho uma base que é o número que fica embaixo e eu tenho o número que fica em cima que é chamado de expoente então a composição de base com expoente forma a nossa potência então se por exemplo eu tenho uma potência assim 3 elevado a 2 ou também eu posso ler três elevado ao quadrado o quê que significa isso significa que esse expoente vai mandar a base se multiplicar tantas vezes que nesse caso ficaria três vezes três que seria 9 um outro exemplo se eu tivesse 2 elevado a 5 o que que é dois elevado e seria cinco parcelas do dois 2 x 2 x 2 x 2 x 2 ó uma duas três quatro cinco assim como nós temos aqui no nosso expoente e aí para encontrar o valor desse 2 elevado a 5 eu faço duas vezes dois que dá 44 x 288 x 2 16 dezesseis x2 32 então a nossa potência 2 elevado a 5 resulta em 32 mais um exemplo agora um exemplo com uma fração se eu tivesse por exemplo a fração dois terços elevado a 3 o que que significa fração dois terços elevado a 3 significa que eu tenho dois terços vezes dois terços x dois terços que seria multiplicação de frações 2 vezes 2 a 4 4 x 2 a três vezes 399 23 27 então eu teria a fração dois terços elevado a 3 seria igual a 8 27 anos uma coisa que vocês não podem esquecer é que quando eu tenho uma potência toda vez o seu expoente tem que ser sempre o número e inteiro que aí nós temos também na potência os casos especiais por exemplo se eu tiver é uma base com expoente 1 o resultado dessa potência será a própria base tô aqui no caso a minha base é dois a resposta é dois se eu tivesse a potência como base 15 elevado a 1 a resposta seria 15 então quando eu tenho expoente um sempre a resposta será a própria base e um segundo caso especial é quando eu tenho uma potência com expoente zero então por exemplo se eu tenho 2 elevado a zero a resposta de 2 elevado a zero é um todo número elevado a zero é um por exemplo 15 elevado a zero a resposta é um isso aqui então vale para casos onde a base ela é um número diferente de zero ok todo número elevado a zero é um desde que a base seja diferente de zero bom então agora nós vamos passar para a os casos das propriedades das potências vamos lá então a primeira propriedade que eu vou falar aqui para vocês agora é o produto de potências de mesma base então por exemplo se eu tiver uma base uma potência com base dois por exemplo 2 elevado a quinta potência x 2 elevado a 3 qual vai ser o resultado dessa operação primeira coisa que eu vou responder para vocês é que eu imagino que você tá com dura porque chamado produto produto porque nós temos aqui uma multiplicação é o resultado de uma multiplicação e aí vamos resolver pelo método convencional sem aplicar propriedade nenhuma eu terei então que 2 elevado a quinta potência seria 2 x 2 x 2 x 2 x 2 1 2 3 4 5 fatores dois mu o mercado por 2 elevado a 3 que seria 2 x 2 x 2 agora veja bem quantos fatores dois eu tenho aqui ó 1 2 3 4 5 6 7 8 que seria a mesma coisa que eu escrever 2 elevado a 8 não é então seria muito mais fácil aqui nós aplicarmos a propriedade da potência que eu teria aqui ó repete a base já que as duas potências tem a base dois eu repito a base dois e eu somo os dois expoentes cinco mais três seria oito então eu teria como resposta dessa conta 2 elevado a 8 que tanto eu posso fazer pelo modo o convencional como eu posso somente aplicar as propriedades e chegar ao mesmo resultado só que a propriedade em alguns casos ela vai tornar a nossa os nossos cálculos mais rápidos então por isso a importância de aplicar as propriedades veja o segundo exemplo é se eu tenho uma base 3 elevado a 2 x uma base 3 elevado a 4 aplicando a propriedade das potências você já sabe quanto que a resposta então eu teria três que a base que se repete e eu coloco eu colocaria lá de novo e aí eu sou maria dos expoentes dois-mais-quatro que seria três elevado a sexta potência então mais um caso em que eu apliquei a propriedade das potências quando eu tenho um produto de potências de mesma base mantém-se a base e soma-se os expoentes perfeito vamos agora para o nosso próximo caso das propriedades das potências vamos lá a próxima propriedade que eu vou falar para vocês é o é o quociente de potências de mesma base porque consciente porque o quociente vem do resultado de uma divisão então essa propriedade está relacionado a divisão de potência de mesma base então por exemplo se eu tenho potências 3 elevado a 8 / 3 elevado a 4 tô aplicando aqui a propriedade das potências eu teria então base repetida que tem o 3 e o conserva o 3 e aí o que que eu faço com os expoentes na multiplicação eu sou meio expoentes aqui na divisão eu vou subtrair os expoentes então ficaria três elevado a quarta potência como que ficaria se eu fizesse pelo método convencional 3 elevado a 8 seria 3 x3 x3 x3 x3 x3 x3 1 2 3 4 5 6 7 8 potências de base 3 / 3 elevado a 4 que seria 3 x3 x3 x3 4 parcelas quatro então aqui eu poderia fazer uma simplificação poderia tirar esses quatro três e tirar esses quatro três e sobraria para mim 3 x 3 x 3 x o que seriam esses fatores aqui e esses fatores aqui resultariam na potência 3 elevado a quarta então mais uma vez eu mostro aqui para vocês que como é mais simples eu aplicar a propriedade da potência nesses casos mais um caso para você aplicar a propriedade das potências se eu tivesse então 5 elevado a sexta / 5 elevado a quarta o que eu faria quando a divisão de potência de mesma base eu mantenho a base e eu subtrai os expoentes que a que resultaria em 5 elevado a 2 que para quem quer colocar a resposta seria 25 ok então a próxima a propriedade que eu apresento para vocês a potência de uma potência também torna a conta mais simples de ser resolvida por exemplo vamos então a potência 2 elevado a 2 o e elevado não somente o potência três pelo método convencional eu teria que fazer 2 vezes 2 né que a conta aqui de dentro do parênteses isso aqui elevado a 3 aí eu terei que fazer então 2 vezes 2 uma parcela aí duas vezes 2 e 2 x 2 então aqui eu teria uma parcela duas parcelas 3 parcelas do que eu tenho aqui na base então aqui seria a mesma coisa que eu escrever 2 elevado a quantos fatores um dois três quatro cinco seis 14 de base dois ok então esse aqui pelo método convencional agora se eu fizesse essa mesma conta aplicando a propriedade das potências eu teria então que apenas multiplicar os dois expoentes então teria base dois que eu repito a mesma base e multiplicarei os depoentes expoentes seis olha como ficou mais fácil pela propriedade das potências e esse a base e eu multiplico as potência e olha como fica mais fácil então pela propriedade das potências eu mantenho a base e multiplica os expoentes ok vamos para mais um exemplo então eu tenho agora a potência 5 elevado a 2 esses cinco está e levar 5 elevado a 2 elevado a 3 e vai estar elevado a dois novamente então diretamente aqui aplicando a propriedade das potências eu teria cinco aí eu multiplico os expoentes 2 x 3 são 66 esses dois são 12 então eu teria como resposta a 5 elevado a 12 aplicando a propriedade das potências ok passamos então para a próxima propriedade então o nosso próximo caso é potência de um produto e quando até a potência de um produto por exemplo eu vou ter então 2 x 3 elevado a um expoente cinco por exemplo então eu posso distribuir esse esse expoente com as duas bases e ficar então 2 elevado a 5 x 3 elevado a 5 mais um caso se eu tivesse quatro vezes 2 elevado então a três então é só que ficaria 4 elevado a 3 porque eu faço uma distribuição no expoente com essa potência e 2 elevado a 31 o seu deve caso contrário para vocês se eu desce 5 elevado a 2 x 7 elevado a 2 que você saberia o que fazer então você teria que colocar o produto né e teria 15 e 17 juntos entre parentes e o expoente como dois é expoente do 7 que expõe desse cinco ele ficaria o expoente lá fora dessa desse produto por isso o nome potência de um produto mas um exemplo se eu tenho então três elevado a quarta vezes 5 elevado a quarta você poderia fazer isso aqui como sendo três vezes 5 elevado a quarta potência já que o quatro é expoente desse 5 e o quatro respondido três então quatro aqui ficar expoente dos dois num produto só ok então agora a próxima propriedade que eu apresento é a potência de um consciente é o mesmo caso é acontece com o expoente em relação àquela da multiplicação que apresentei agora pouco eu tenho por exemplo dois terços elevado a um expoente cinco isso vale dizer então que eu tenho 12 é levado ao cinco eu três elevado a 5 eu posso então distribuir os expoentes ou expoente cinco com cada uma dessas bases eu tenho sete terços elevado a um expoente 2 isso equivale dizer que eu tenho 7 elevado ao expoente 2 e 3 elevado ao expoente 2 bom então agora nós vamos ver mais um caso especial de potência que seria a potência com expoente inteiro negativo então quando você tiver um exemplo em que a base ela é um número natural por exemplo 2 e o expoente for um número inteiro negativo como você deve proceder para resolver esse exercício com essa potência então você deve fazer assim primeiro lugar você vai calcular qual o inverso da base qual é o inverso do dois o inverso do dois seria o meio porque nós colocamos um aqui no denominador esse um vai subir e esse dois vai descer então eu faço uma inversão e a partir do momento que eu faço o inverso o expoente passa a ser positivo então aqui eu teria um meio elevado ao cubo é a mesma coisa que um meio x um meio x um meio totalizando como um oitavo segundo e eu tenho então 3 elevado a menos 4 então de novo eu faço o inverso da base que seria um terço e eu elevo a quarta potência porque daí a hora que eu faço esse inverso da base e expoente passa a ser positivo então eu teria que um terço x 13 x 1 34 parcelas dele que daria um 81 anos eu e mais um exemplo para finalizarmos se eu tivesse 5 elevado a menos 2 quando eu tenho então o expoente negativo eu faço ai o inverso da base a inversão da base então o inverso de cinco seriam quinto e o dois passa a ser positivo a partir do momento que eu passo o inverso só que eu teria um quinto x 15 x um quinto que daria um 125 a1 bom então agora vamos resolver 2 ou 3 exercícios envolvendo a aplicabilidade dessas propriedades que nós vimos agora há pouco então vamos lá primeiro exercício então eu preciso simplificá-lo simplificar essa expressão para eu tornar então em uma única potência então eu vou pensar aqui o que que eu consigo fazer aqui eu tenho uma base dois aqui eu tenho uma base quatro uma base 16 uma base de 32 se eu parar para pensar todos eles são múltiplos de 2 então o que que eu vou fazer eu vou faturar cada um desses números para deixar elas escritos na potência de base dois ok então vamos lá o dois ele fica como 2 elevado a terceira mesmo o verde agora sempre cultural 44 é o que relação a base dois olha aqui bom então quatro se eu faturar o quatro da por 2 que dá dois por dois dá um então quatro é 2 elevado a 2 então aqui ficaria dois e levará 2 para que vocês consegue perceber que tinha um outro dois ali elevado então elevado a 2 de novo ok vezes agora vamos fatorar o 16 dezesseis da por 2 que dá oito por 2 a 4 por 2 a 2 e por dois dá um então eu 16 é a mesma coisa que 2 elevado a quarta então aqui eu vou escrever então o que eu 16 é 2 elevado a quarta só que agora eu não posso esquecer do que tava para fora dos parentes que era o menos um e aqui também esse 32 eu consigo faturar o 32 então 32 aqui nós temos que é 2 elevado a quinta potência e agora que que eu posso fazer aqui dentro desse parentes isso para eu trabalhar com a propriedade das potências então aqui eu posso agora fazer uma a potência de uma potência então vai ficar 2 elevado a 3 x 2 com expoente 4 já que eu multipliquei esses dois porém x 2 elevado a 4 elevado a 1 e 2 elevado a 5 aqui agora aqui eu consigo trabalhar com aquela propriedade que fala é produto de potências de mesma base onde eu mantenho a base e somos expoentes então vou somar aqui 3 + 4 + 4 e tudo isso ainda elevado a menos um né então aqui três mais quatro são 77 com quatro são 11 eu teria 2 elevado a 11 elevado a menos 1 x 2 elevado a química e agora vocês conseguem observar que aqui eu tenho uma potência de potência então basta eu multiplicar essas duas potências então vai ficar 2 elevado a menos 11 que multiplica 2 elevado a 5 agora por fim o que que eu tenho de novo uma propriedade das potências que é a multiplicação de potência de mesma base onde eu devo manter a base e somar os expoentes então ficaria – 11 mais cinco eu terei então 2 elevado a menos 6 como potência da simplificação desse exercício aqui o ok agora para o segundo exercício também eu preciso simplificar nós vamos fazer do mesmo jeito utilizando as propriedades das potências ok vamos lá então e eu tenho 91 27853 eu vou tentar deixar esse nove vou faturar 19 que dá por ter e então eu tenho que o 9 ali vai ser 3 elevado a 2 então a minha conta ficaria praticamente assim 3 elevado a 2 / 3 elevado a 2 que aquele 9 foi de como aquele 9 tá elevado ao quadrado eu vou levar esse 3 ao quadrado a dois também porque veja esse 3 ao quadrado simboliza aquele 9 e daí eu continuo a conto vezes agora o 27 vou faturar o 27 27 da por três que dá nove por 3 a 3 por 3 dá um eu seria três elevado ao cubo 3 e levar a terceira e mais uma vez vocês podem ver o e 27 assim com aquela hora o novo e também tem um expoente então preciso levar esses outros poentes oi e daí continuando fecha parentes né e leva dois e multiplique por 3 elevado a 14 agora que eu tenho todas as potências de base igual eu vou começar a aplicar as propriedades a primeira propriedade agora que eu posso aplicar aqui a potência de uma potência eu posso multiplicar aqui e possa multiplicar aqui então vai ficar três elevado ao quadrado dividido por 13 elevada a quatro já que dois e dois são quatro e aqui vai ficar 3 elevado a menos nove tudo isso aqui é levado a dois e aqui três elevado a 14 agora aqui eu posso fazer o que eu posso aplicar a potência a propriedade da do quociente de potências de mesma base onde eu mantenho a base e subtraem-se os expoentes então aqui eu teria que seria 2 elevado a menos 4 o x 3 elevado a menos 9 bom então aqui agora eu aplico a propriedade de multiplicação de potências de bases iguais onde eu mantenho a base e somos expoentes então aqui ao somar menos dois mais – 9 a que eu tenho que menos eu tenho que é menos então vai ficar e aí e aí e vai ficar menos 2 – 9 que vai ficar menos 11 então tudo isso aqui é 3 elevada – 11 horas elevado a 2 x 3 elevado a 14 e agora de novo eu posso aplicar aqui a aquela propriedade de potência de uma potência onde eu multiplico as duas potências e aí eu ficaria com 13 i elevado a menos 22 x 3 elevado a 14 e agora por sim eu aplico de novo aquela propriedade multiplicação de potência de mesma base onde eu mantenho a base e somos expoentes então eu teria que fazer menos 22 mais 14 se eu tenho 22 e devo 14 eu fico devendo oito então o resultado dessa expressão na forma de uma única potência é 3 elevado a menos oito ou se você quiser aplicar uma propriedade e fazer o inverso ficaria um terço elevado a 8 positivo muito bem exemplo eu encerro a aula de hoje espero que você tenha entendido a esse conteúdo e se você gostou se inscreva no meu canal dê um like nesse vídeo e até a próxima aula 1 e aí